無次元化した１次遅れ要素の伝達関数を図１１５に示します（ご参考＜１次遅れ要素の誘導＞）。１次遅れ要素は、ノイズ（不要な高周波信号）を除去するローパスフィルタとしても使用されます。
ローパスフィルタに信号Ｘを入力すると、ローパスフィルタからはノイズが”ある程度”除去された信号Ｙが出力されます。ここでは、その効用に関して説明します。
ノイズは”確実”に除去されるのでは無く”ある程度”除去されるのですが、その”ある程度”を確実に体感しましょう。きっと、サーボの習得に役立ちます。
１次遅れ要素の時定数Ｔ（ｓ）とローパスフィルタのカットオフ周波数Ｆ（Ｈｚ）の関係を、式１１７に示します。
入力信号の周波数をｆ（Ｈｚ）とし、
ローパスフィルタの入出力間ゲインＧLow-pass-f（Ｙ／Ｘ）を式２１１、
入出力間位相ΦLow-pass-f（ＸからＹに至る位相遅れ角度）を式２１２に示します。
ＧLow-pass-f＝１／√（１＋４（πＴｆ）2） 式２１１
ΦLow-pass-f＝－ｔａｎ－１（２πｆＴ） 式２１２
例えば、カットオフ周波数Ｆ＝１０Ｈｚ（時定数Ｔ＝０．０１５９ｓ）のローパスフィルタを、式２１１と式２１２を使用して、入力信号の周波数（ｆＨｚ）毎に、
入出力間ゲインＧLow-pass-fと
入出力間位相ΦLow-pass-fを、図示します（図２１１）。
（図２１１ カットオフ周波数Ｆ＝１０Ｈｚのローパスフィルタ 周波数特性線図）
図２１１の示す意味を考えてみましょう。
図２１２には、同カットオフ周波数Ｆ＝１０Ｈｚのローパスフィルタにそれぞれ、
大きさ１正弦波の１Ｈｚ、１０Ｈｚ、１００Ｈｚ状入力信号Ｘを通した場合の入力信号Ｘと出力信号Ｙを示します。
（図２１２ カットオフ周波数１０Ｈｚのローパスフィルタ
正弦波入力Ｘ＝１，１０，１００Ｈｚに対する出力Ｙ応答）
図２１２の上段には、大きさ１,周波数１Ｈｚの入力信号を与えた場合を示します。
ＹはＸに対して、大きさはほぼ同じ（Ｙ／Ｘ≒１)で５．７度遅れています。これらの値は、図２１１においてｆ＝１ＨｚにおけるゲインＧLow-pass-f、位相ΦLow-pass-fに相当します。
このように、入力信号の周波数ｆがカットオフ周波数Ｆより十分小さい（カットオフ周波数に限らず１／１０の）場合は、ゲイン（Ｙ／Ｘ）はほぼ１（１）、位相は僅かに（５．７度）遅れます。
図２１２の中段には、大きさ１,周波数１０Ｈｚの入力信号を与えた場合を示します。
ＹはＸに対して０．７１（Ｙ／Ｘ≒０．７１)で４５度遅れています。これらの値は、図２１１においてｆ＝１０Ｈｚ（＝カットオフ周波数）におけるゲインＧLow-pass-f、位相ΦLow-pass-fに相当します。
このように、入力信号の周波数ｆがカットオフ周波数Ｆの場合はカットオフ周波数に依らず、ゲイン（Ｙ／Ｘ）は０．７１、位相は４５遅れます。
図２１２の下段には、大きさ１,周波数１００Ｈｚの入力信号を与えた場合を示します。
ＹはＸに対して０．１（Ｙ／Ｘ≒０．１)で８４．３度遅れています。これらの値は、図２１１においてｆ＝１００Ｈｚ（カットオフ周波数の１０倍）におけるゲインＧLow-pass-f、位相ΦLow-pass-fに相当します。
このように、入力信号の周波数ｆがカットオフ周波数Ｆより十分大きい（カットオフ周波数の１０倍の）場合は、ゲイン（Ｙ／Ｘ）は１より十分に小さく（１／１０になり）、位相は９０度遅れに漸近します（８４．３度遅れます）。
ローパスフィルタは、入力信号の周波数がカットオフ周波数と等しくなるところで入出力間のゲインは０．７１になり、位相は－４５度になります。また、カットオフ周波数を境にして、入力周波数が１０倍大きくなる毎にゲインは１／１０小さくなり、位相は－９０度に漸近します。このローパスフィルタの特性を感覚的に頭に入れて、次のことを考えてみましょう。
例えば、１Ｈｚの必要な基幹信号にノイズと見なされる１００Ｈｚの不要な信号が載った信号Ｘがあります（図２１３）。
図２１３ １Ｈｚの基幹信号に１００Hzの不要な信号が加わった信号Ｘ
ローパスフィルタを使用して、信号Ｘから１００Ｈｚの不要な信号を、除去するにはどうしたらよいでしょうか？
例えば、カットオフ周波数１０Ｈｚのローパスフィルタを通してみましょう。Ｘを１０Hzのローパスフィルタに入力した場合の出力信号Ｙとし、Ｙを図２１４に示します。
図２１4 １Ｈｚの基幹信号に１００Hzの不要な信号が加わった信号Ｘとし、
Ｘを１０Ｈｚのローパスフィルタに入力した場合の出力信号Ｙ
Ｙは、Ｘの基幹部分に対して 大きさは変わらず 僅かに（約６度）遅れましたが、Ｘの不要部分に対しては大きさは１／１０に縮小し（約８４度遅れ）ました。
仮に カットオフ周波数を１０Ｈｚより小さくすれば、その分（式２１１，式２１２にしたがって）基幹信号の大きさはより縮小し、より遅れ、不要な信号の大きさもより縮小し、より遅れます。つまり、カットオフ周波数を小さくすれば、不要な信号の除去作用は強まりますが、必要な基幹信号まで縮小したり遅れたりします。
仮に カットオフ周波数をより大きくすれば、反対に不要な信号の除去作用は弱まりますが、必要な基幹信号は、縮小し難く遅れ難く原形を保ち易くなります。
これが本章の冒頭で述べた「ノイズは”確実”に除去されるのでは無く”ある程度”除去される」ことの意味です。”ある程度”を確実に体感できたでしょうか。
しかし、１つ注意があります。フィードバック制御系のフィードバック信号にノイズが混入した場合に、ローパスフィルタを入れて対応して良い場合と、入れて対応すべきではないる場合が存在します。
以下には先ず、入れて対応すべきではない場合を説明します。
図１１５には、ステップ状の位置指令Ｘｒｅｆに対して位置を追従させる、位置フィードバック制御系において、配線上の問題などにより位置信号Ｘに１００Ｈｚのノイズが混入した場合の位置制御結果を示します。ノイズが混入している以外、信号Ｘには指令Ｘｒｅｆに対してオーバーシュートも見られず、制御系は安定しています。
図２１５ 位置フィードバック信号に１００Hzのノイズが混入した場合の
位置フィードバック制御結果
この位置フィードバック制御系の位置信号に、ノイズ除去の目的でカットオフ周波数１０Ｈｚのローパスフィルタを通します。その位置制御結果を、図２１６に示します。ノイズは上手く除去できていますが、肝腎の位置信号ＸはＸｒｅｆに対してオーバーシュートしています。
図２１６ 位置フィードバック制御系の位置信号に１００Hzのノイズが混入し
位置信号に10Hzのローパスフィルタを通した場合の位置フィードバック制御結果
これは、ローパスフィルタ－（のカットオフ周波数）が、ノイズ除去には適当でも、位置フィードバック（基幹）信号には不適当だからです。つまり、このカットオフ周波数１０Ｈｚが、この位置制御系の（位相余裕に影響を与える）有効周波数領域内にあり、このローパスフィルタがこの位置制御系の有効周波数領域の位相を１０度程度遅らせて、位相余裕を減少させてしまうからです（ご参考＜サーボの安定／不安定＞）。
次に、入れて対応すべき場合を説明します。
図１１７には、同上の位置フィードバック制御系において、原因不明の問題により位置信号Ｘに１０００Ｈｚのノイズが混入した場合の位置制御結果を示します。ノイズが混入している以外、信号Ｘには指令Ｘｒｅｆに対してオーバーシュートも見られず、制御系は安定しています。
図２１７ 位置フィードバック信号に１０００Hzのノイズが混入した場合の
位置フィードバック制御結果
この位置フィードバック制御系の位置信号に、ノイズ除去の目的でカットオフ周波数１００Ｈｚのローパスフィルタを通します。その位置制御結果を、図２１８に示します。ノイズは上手く除去できており、肝腎の位置信号ＸもＸｒｅｆに対してオーバーシュートすることもなく安定しています。
図２１８ 位置フィードバック制御系の位置信号に１０００Hzのノイズが混入し
位置信号に１００Hzのローパスフィルタを通した場合の位置フィードバック制御結果
これは、ローパスフィルタ－（のカットオフ周波数）が、ノイズ除去に適当で、しかも位置フィードバック（基幹）信号には殆ど影響しないからです。つまり、このカットオフ周波数１００Ｈｚが、この位置制御系の（位相余裕に影響を与ない）十分に高周波数の無効周波数領域内にあり、このローパスフィルタがこの位置制御系の有効周波数領域の位相には、殆ど影響を与えないからです。
また、サーボバカセは、フィードバック制御系の指令にローパスフィルタを通す使い道を、重宝しています。例えば、同上の位置フィードバック制御系の位置比例ゲイン（定数）を２倍に大きくした場合に、ステップ状の位置指令Ｘｒｅｆに対して位置Ｘを追従させた位置制御結果を図１１９に示します。位置は、半周期およそ０．０５ｓで振動（目標位置をオーバーシュート後にアンダーシュート）しています。
図２１９ 位置比例ゲインを２倍に大きくした位置フィードバック制御系の
位置フィードバック制御結果
これは、位置比例ゲインをＵＰしたことにより 位相余裕が減少し、やや不安定化した位置フィードバック制御系に、高周波成分を多く含むステップ状の位置指令が入力されたためです。言い換えれば、この位置フィードバック制御系の固有振動数は波形の振動状況から約１０Ｈｚ程度と考えられ、ステップ状の指令に含まれる１０Ｈｚ程度の成分が、固有振動を励起したとも 解釈できます。
この振動を抑制するためには、比例ゲインを下げる方法が最も普通ですが、そうすると、位置制御そのものが弱くなり（荷重）外乱に対して弱くなることが危惧されるため、ここでは 位置指令に対して、この位置制御系の固有振動数１０Ｈｚよりやや小さいカットオフ周波数８Ｈｚのローパスフィルタを通します。ステップ状の信号Ｘｒｅｆに８Ｈｚのローパスフィルタを通した位置指令Ｘｒｅｆ’を使用した場合の位置制御結果を図２２０に示します。
図２１２ 位置比例ゲインを２倍に大きくした位置フィードバック制御系の
位置指令に８Ｈｚのローパスフィルタを通した場合の位置フィードバック制御結果
こうすると、ステップ状の位置指令から カットオフ周波数８Ｈｚのローパスフィルタのゲイン周波数特性にしたがって 高周波数成分が除去されるので、位置制御系の立ち上がりが安定します。
位置信号にローパスフィルタを通すと、フィードバックループ内の位相を遅らせる問題を少なからず生じさせますが、位置指令にローパスフィルタを通すと、フィードバックループ外の位相を遅らせるため、制御系を不安定化させる問題は生じません。
なお、ローパスフィルタ－（８Ｈｚ）の時定数Ｔ（≅０．０２ｓ）は、ステップ状の指令に対してローパスフィルタが６３．２％立ち上がる時間を示しています。指令を遅らせる時間の目安として、頭に入れておくと便利でしょう。